素数大富豪だけじゃなく HEX もやろう！ ― 紹介編―
小清水 です。 (@curekoshimizu)
twitter 上で 素数大富豪 が大変流行ってるのを目撃しております！
もつくられており楽しそうです！
HEX の提案！
そんな数学コミュニティに流行って欲しいゲームがあります。
それが HEX です。
この HEX は 数学的背景が大変おもしろいゲーム です。
そしてこれを考えたのは
ビューティフルマインド という映画でも有名な方です。
その ナッシュ が 学生時代 にこのゲームを考え、
そして 数学的面白さ（証明） を提起しました。
どうですか？ワクワクしてきませんでしょうか。
Abstract
1. HEX とはどんなゲームか？
2. HEX がもつ数学的面白さ
1. HEX とはどんなゲームか？
マスで2人でやるゲームになります。
ここでは マス版HEX で実践例を紹介します。
下のような六角形で敷き詰めた図を考えましょう。
マスなので
HEX です。
図が対象的ですので、
先攻・後攻はどちらがどちらでも構いませんが
先攻を紫、後攻をピンク
とします。
代わりばんこに塗っていき、
紫は左下から右上につなげると勝ち！
ピンクは右下から左上につなげると勝ち！
というゲームになります。
つながる？というイメージがわからないかと思うので、
ここで模擬プレイをしてみたいと思います。
HEX 模擬プレイ
先攻 は 真ん中 がおすすめです！
○×ゲームでは真ん中を取ると思いますが、それくらいにオススメです！
奇数 奇数 HEX に真ん中はありませんが、
その場合でも真ん中あたりが有力です。
この手がすごく強く、後手からすると鬱陶しいです。
続いての後手は適当にうってみましょう。
例えばこうです。
それを受けて先手はこう打つことにしてみましょう。
この手は激辛です。
なぜかというと
「A」・「B」のどちらかに ピンクが打ち込んできても
その反対側を塗ってしまえば
紫は右上までつながることが保証されるからです。
そのため、紫は 真ん中〜右上 までつながったようなものです。
これを実感してもらうと「A」にピンクが打ってきたらその反対側を塗る。
これを実感してもらうと「B」にピンクが打ってきたらその反対側を塗る。
真ん中から右上までつながりました！
ピンクの手として次にこの手を考えてみましょう。
これにはこの手が激痛です。「C」に対して先程と同じことが成立します。
紫勝利図
紫がつながりました！
途中経過は飛ばしますが、
例えばこういうつながり方でもOKです。
2. HEX がもつ数学的面白さ
1. (きちんとやれば)先手必勝ゲームである ことが証明できる
2. 引き分けがなく、盤面を埋めれば絶対に勝敗がきまる ことが証明できる
先手必勝手順の存在性
実は、先手必勝手順の 存在性 を証明できます。
だからといって面白くないと言っているわけではりません。
将棋もチェスも プロの勝率を考えると明らかに 先手優勢です。
具体的な手順が示せるわけではなく、
先手必勝手順があるらしい
という内容になります。
実数係数多項式が複素数上で必ず存在する (代数学の基本定理) が、
その厳密解の求め方はわからないと似てますね。
とはいえ、 で見たように
HEX で マス が小さいと
実感として 先手有利なことがわかります。
HEX までは 先手が 実感としてかなり有利 です。
個人的におすすめの大きさは
HEX になります。
印刷してプレイしてみてください！盛り上がりますよ。
先程のような先手一方戦にはならず、
後手からの反撃が始まります！
引き分けがない
引き分けがないというのがHEXの特徴です！
将棋もチェスも引き分けがあるゲームです。
一方で HEX は 数学的性質から 引き分けがないことが証明できます。
すなわち、
どうあがいても 最後まで塗ると必ずつながっていることになる ということになります。
このことをよくよく考えると、
HEX の逆 ができるということです。
すなわち、
つなげたら負け！というルールでも HEX は成立する
ということになります。
引き分けがないことの証明方法は？
- Jordanの曲線定理
- Schauderの不動点定理
を使うと証明ができます。
準備が大変ですが、いつかこのブログで証明できればいいなと思っております。
今回は 紹介編 ということで証明はでてきません。
ブログ更新を楽しみにしてください！
Summary
数学の証明と紐付いたゲーム (Jordanの曲線定理・Schauderの不動点定理) である、
絶対に引き分けることができないゲーム、
HEX を紹介しました！
Android アプリ でも HEX はできます。
皆さん是非プレイしてみてください！
